Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce livre est le cinquième du traité ; il est consacré aux bases de l'analyse fonctionnelle. Il contient en particulier le théorème de Hahn-Banach et le théorème de Banach-Steinhaus. Il comprend les chapitres: -1. Espaces vectoriels topologiques sur un corps value; -2. Ensembles convexes et espaces localement convexes; -3. Espaces d'applications linéaires continues; -4. La dualité dans les espaces vectoriels topologiques; -5. Espaces hilbertiens (théorie élémentaire).

Il contient également des notes historiques.

Ce volume a été publié en 1981.