Mathematik für Informatiker
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Manfred Brill
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Mathematik für Informatiker
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Carl Hanser Fachbuchverlag
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9783446400542
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2
:
CHF 22.00
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Programmiersprachen
:
German
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455
:
Wasserzeichen/DRM
:
PC/MAC/eReader/Tablet
:
PDF
Die Informatik entwickelt sich in einer unglaublichen Geschwindigkeit. Häufig ist die Mathematik Grundlage von Neuerungen. Deshalb ist sie unverzichtbares Werkzeug jedes Informatikers und Pflichtfach im Studium.Dieses Lehrbuch vermittelt die mathematischen Grundlagen der Informatik anschaulich und leicht nachvollziehbar. Dabei bleibt die Mathematik nicht reiner Selbstzweck. Vielmehr zeigt der Autor immer die Querverbindungen zur Informatik auf. Bei allen Themen, von der Aussagenlogik über die Lineare Algebra bis zur Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung, schlägt er die Brücke zur praktischen Anwendung. Vorgestellte Anwendungsgebiete sind z.B.: Relationale Datenbanken und SQL als Anwendung der relationalen Algebra, Public-Key-Kryptographie als Anwendung der Zahlentheorie, Landau'sche Symbole als Anwendung von Konvergenz von unendlichen Folgen, Transformationen in der Computergrafik als Anwendung von linearen Abbildungen.Jedes Kapitel enthält Übungsaufgaben und Verständnisfragen.
Kapitel 9 Vektoralgebra
(S. 221)
Motivation
Vektoren im anschaulichen dreidimensionalen Raum und ihre Verallgemeinerung im Rn bilden die Basis f ür viele mathematische Modelle auf dem Computer. Es ist kein Zufall, dass Felder zu den ersten Datenstrukturen gehören, die Sie im Informatikstudium kennen lernen. Das Skalar- und das Vektorprodukt, die Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen im Rn sind elementare Grundlagen. Die in diesem Kapitel eingeführten Begriffe bilden die anschauliche Basis für den im folgenden Kapitel eingeführten abstrakten Vektorraum.
9.1 Geometrische Vektoren
Physikalische Werte wie Flächeninhalt, Längen, Masse oder Temperatur sind durch die Angabe ihres Betrages vollständig beschrieben. Vektorielle Größen dagegen benötigen zusätzlich die Angabe einer Richtung. Beispielsweise wird die Windbewegung als 10 km/h Südost, durch den Betrag der Geschwindigkeit und eine Richtung angegeben. Anschaulich werden diese Größen durch Pfeile dargestellt, die Richtung des Vektors entspricht der Pfeilrichtung. In der zweidimensionalen Ebene kann ein Vektor als ein geordnetes Paar von Punkten angesehen werden; der Vektor verbindet einen Anfangs- und einen Endpunkt. Um Vektoren und Skalare im Text zu unterscheiden, werden Vektoren in diesem Buch immer als fett gedruckte Kleinbuchstaben x geschrieben. Die auftretenden Zahlen werden Skalare genannt und mit kleinen griechischen Buchstaben gekennzeichnet. Punkte werden mit Großbuchstaben bezeichnet
Motivation
Vektoren im anschaulichen dreidimensionalen Raum und ihre Verallgemeinerung im Rn bilden die Basis für viele mathematische Modelle auf dem Computer. Es ist kein Zufall, dass Felder zu den ersten Datenstrukturen gehören, die Sie im Informatikstudium kennen lernen. Das Skalar- und das Vektorprodukt, die Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen im Rn sind elementare Grundlagen. Die in diesem Kapitel eingeführten Begriffe bilden die anschauliche Basis für den im folgenden Kapitel eingeführten abstrakten Vektorraum.
9.1 Geometrische Vektoren
Physikalische Werte wie Flächeninhalt, Längen, Masse oder Temperatur sind durch die Angabe ihres Betrages vollständig beschrieben. Vektorielle Größen dagegen benötigen zusätzlich die Angabe einer Richtung. Beispielsweise wird die Windbewegung als 10 km/h Südost, durch den Betrag der Geschwindigkeit und eine Richtung angegeben. Anschaulich werden diese Größen durch Pfeile dargestellt, die Richtung des Vektors entspricht der Pfeilrichtung. In der zweidimensionalen Ebene kann ein Vektor als ein geordnetes Paar von Punkten angesehen werden; der Vektor verbindet einen Anfangs- und einen Endpunkt. Um Vektoren und Skalare im Text zu unterscheiden, werden Vektoren in diesem Buch immer als fett gedruckte Kleinbuchstaben x geschrieben. Die auftretenden Zahlen werden Skalare genannt und mit kleinen griechischen Buchstaben gekennzeichnet. Punkte werden mit Großbuchstaben bezeichnet.
Inhaltsverzeichnis
6
Vorwort
10
DieWebsite zum Buch
11
Kapitel 1 Zahlensysteme
12
Motivation
12
1.1 Von den natürlichen zu den reellen Zahlen
12
1.2 Komplexe Zahlen
17
1.3 Summen und Produkte
22
1.4 Stellenwertsysteme
25
1.5 Zahlendarstellung im Computer
30
1.6 Matrizen
40
1.7 Aufgaben
46
Kapitel 2 Mengenlehre
50
Motivation
50
2.1 Mengen
50
2.2 Mengenoperationen
54
2.3 Permutationen und Kombinationen
58
2.4 Das Inklusions-Exklusions-Prinzip
64
2.5 Aufgaben
67
Kapitel 3 Logik
70
Motivation
70
3.1 Aussagenlogik
70
3.2 Logische Ausdrücke und Schaltkreise
76
3.3 Prädikate und Quantoren
80
3.4 Mathematische Beweise
83
3.5 Aufgaben
85
Kapitel 4 Relationen und Abbildungen
88
Motivation
88
4.1 Relationen
88
4.2 Äquivalenzrelationen
93
4.3 Ordnungsrelationen
97
4.4 Abbildungen und Funktionen
105
4.5 Relationen und Datenbanken
108
4.6 Abzählbarkeit und Berechenbarkeit
111
4.7 Aufgaben
116
Kapitel 5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten
118
Motivation
118
5.1 Lineare Gleichungssysteme
118
5.2 Die Matrixdarstellung der Gauß -Elimination
124
5.3 Die LU-Zerlegung
129
5.4 Determinanten
134
5.5 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix
138
5.6 Aufgaben
141
Kapitel 6 Zahlentheorie
144
Motivation
144
6.1 Primzahlen und Teiler
144
6.2 Der Euklidische Algorithmus
150
6.3 Modulare Arithmetik
153
6.4 Zahlentheorie und Kryptographie
161
6.5 Aufgaben
169
Kapitel 7 Graphentheorie
172
Motivation
172
7.1 Grundlegende Begriffe und Definitionen
172
7.2 Bäume
180
7.3 Aufspannende Bäume und kürzeste Wege
186
7.4 Planare Graphen und Färbungen
194
7.5 Bipartite Graphen und Matchings
200
7.6 Aufgaben
205
Kapitel 8 Algebraische Strukturen
210
Motivation
210
8.1 Gruppen
210
8.
