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Lois de Conservations Eulériennes, Lagrangiennes et Méthodes Numériques

:	Bruno Després
:	Lois de Conservations Eulériennes, Lagrangiennes et Méthodes Numériques
:	Springer-Verlag
:	9783642116575
:	1
:	CHF 35.40
:

:	Mathematik
:	French

:	286
:	DRM
:	PC/MAC/eReader/Tablet
:	PDF

Les systèmes de lois de conservation non linéaires modélisent les écoulements compressibles et incompressibles dans des domaines extrêmement variés tels que l'aéronautique, l'hydrodynamique, la physique des plasmas, la combustion, le trafic routier, l'élasticité non linéaire. Le cadre mathématique général est celui des systèmes de lois de conservation. Les exemples physiques sont nombreux et souvent spectaculaires. Cela contribue à fonder une nouvelle discipline, la Mécanique des Fluides Numérique. La présentation proposée porte l'accent sur les systèmes que l'on appellera lagrangiens ou écrits en coordonnées de Lagrange, sur leurs relations avec les systèmes en coordonnées d'Euler et sur les possibilités que cela offre pour la construction et l'analyse de schémas numériques entropiques. De nombreux exemples numériques sont présentés en liaison avec le contexte physique, ainsi que des exercices. It has long been observed that systems of conservation laws written in the Lagrange variable offer a good alternative for the numerical computation of approximate solutions. In this monograph we seek to develop a systematic presentation of the use of the Lagrange variable for the analysis and discretization of systems of conservation laws arising in continuum mechanics.

"1 Introduction (p. 1-2)

Les syst`emes de lois de conservation mod´elisent les´ecoulements compressibles et incompressibles dans des domaines extrˆemement vari´es tels que l’a´eronautique, l’hydrodynamique, la physique des plasmas, la combustion, le tra?c routier, l’´elasticit´e non lin´eaire. Les´equations sont non lin´eaires et expriment les relations de bilan pour diverses quantit´es telles que masse, impulsion et´energie totale pour la dynamique des gaz compressibles.

Le cadre math´ematique g´en´eral est celui des syst`emes de lois de conservation. Le caract`ere non lin´eaire des´equations implique l’existence des solutions discontinues appel´ees chocs. Cela recouvre le bang sonique, les´ecoulements hypersoniques (autour des avions par exemple), les ph´enom`enes de mascaret, les bouchons pour le tra?c routier, les explosions de supernovae, la d´etonation en g´en´eral. Les exemples sont nombreux et souvent spectaculaires. Au plan num´erique on peut noter que le d´eveloppement de m´ethodes adapt´ees au calcul de telles solutions discontinues impose des contraintes nouvelles. Cela contribue `a fonder une nouvelle discipline, la M´ecanique des Fluides Num´erique.

Un des objectifs de ce texte est de pr´esenter les raisons pour lesquelles on utilise de tels syst`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles, de les analyser sur le plan math´ematique, et de construire quelques sch´emas de Volumes Finis pour la r´esolution num´erique. Ce faisant nous aurons les outils pour´etudier les chocs d’un point de vue tant physique, que math´ematique et num´erique. Un point capital est le rˆole d’une quantit´e appel´ee entropie (par r´ef´erence au substrat thermodynamique de cette notion) qui traduit le fait qu’une discontinuit´e math´ematique est de fait une id´ealisation.

La pr´esentation propos´ee portera l’accent sur les syst`emes que l’on appellera lagrangiens ou´ecrits en coordonn´ees de Lagrange et sur leurs relations avec les syst`emes en coordonn´ees d’Euler. La di?´erence entre les coordonn´ees d’Euler et les coordonn´ees de Lagrange tient au r´ef´erentiel utilis´e pour´ecrire les syst`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles. Les coordonn´ees d’Euler sont les coordonn´ees du laboratoire.

Pour un ?uide les coordonn´ees de Lagrange sont les coordonn´ees du ?uide en mouvement. On peut aussi choisir les coordonn´ees eul´eriennes au temps initial. Les syst`emes lagrangiens ayant une entropie ont une structure particuli`ere que nous´etudierons en d´etail. L’´ecriture en coordonn´ees de Lagrange a de nombreuses et fructueuses cons´equences pour la construction et l’analyse de m´ethodes num´eriques adapt´ees `a la discr´etisation des´equations de la physique math´ematique.

Le contrˆole de la stabilit´e de ces m´ethodes num´eriques reposera de mani`ere syst´ematique sur l’obtention d’in´egalit´es discr`etes d’entropies qui permettent en pratique d’obtenir la stabilit´e au sens L2. En dimension un d’espace les m´ethodes pr´esent´ees sont tout `a fait classiques, au sens o`u elles ont´et´e publi´ees et republi´ees maintes fois dans des contextes parfois di?´erents. On consultera `a pro?t [GR96]."

	Lois de Conservations Eulériennes, Lagrangiennes et Méthodes Numériques	270
	4	270
	1 Introduction	11
	2 Modèles	14
	2.1 Équation de bilan	14
	2.1.1 Trafic routier	15
	2.1.2 Système de Saint Venant	17
	2.1.3 Dynamique des gaz compressibles	20
	2.2 Invariance Galiléenne	22
	2.3 Coordonnées de Lagrange	24
	2.3.1 Changement de coordonnées et lois de conservation	25
	2.3.2 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension un d'espace	28
	2.3.3 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension deux d'espace	29
	2.3.4 Formulation de Hui	31
	2.3.5 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension trois d'espace	31
	2.4 Système linéairement bien posé et hyperbolicité	32
	2.4.1 Stabilité linéaire en dimension un d'espace	32
	2.4.2 Stabilité linéaire en dimension supérieure	35
	2.5 Exemples de calcul des vitesses d'onde	37
	Le trafic routier	37
	Le système de St Venant	38
	La dynamique des gaz compressibles en dimension un	38
	Application numérique	39
	La dynamique des gaz compressibles en dimension supérieure	40
	Le cas lagrangien	41
	2.6 Exercices	43
	2.7 Notes bibliographiques	45
	3 Étude d'une loi de conservation	47
	3.1 Solutions fortes et méthode des caractéristiques	48
	3.2 Solutions faibles	52
	3.3 Solutions faibles entropiques	55
	3.3.1 Discontinuités entropiques	58
	3.3.2 Choc et discontinuité de contact	61
	3.3.3 Équation des détentes	62
	3.3.4 Solution entropique du problème de Riemann	64
	3.3.5 Application et interprétation physique	65
	3.4 Calcul numérique de solutions faibles entropiques	69
	3.4.1 Notion de schéma conservatif	69
	3.4.2 Schéma de Volumes Finis	72
	3.4.3 Construction du flux à partir de la méthode des caractéristiques	72
	Premier cas : l'équation du transport	72
	Deuxième cas : le modèle LWR	73
	3.4.4 Cas général	76
	3.4.5 Définition d'un schéma générique	78
	3.4.6 Convergence	80
	3.4.7 Applications et analyse des résultats	82
	Modèle LWR	82
	Modèle OM pour le trafic dans la ville de Bogota	84
	Modèle de Buckley-Leverett	84
	3.5 Comparaison numérique choc-discontinuité de contact	86
	3.6 Optimisation du schéma	87
	3.6.1 Optimisation par rapport à la contrainte de stabilité	88
	3.6.2 Optimisation par rapport à la précision	88
	3.7 Schémas lagrangiens pour le trafic routier	89
	3.7.1 Schéma lagrangien	90
	Forme finale du flux	91
	3.7.2 Un résultat numérique	91
	3.8 Exercices	92
	3.9 Notes bibliographiques	94
	4 Systèmes	95
	4.1 Exemples	96
	4.1.1 Système des eaux peu profondes	96
	4.1.2 Système de la dynamique des gaz compressible	97
	4.2 Entropie et variables entropiques	100
	4.3 Solutions faibles entropiques	103
	4.4 Solutions autosemblables en xt	106
	4.4.1 Discussion des détentes	107
	4.4.2 Discussion des discontinuités	110
	Analyse des conditions de Rankine-Hugoniot (4.39)	111
	Analyse de l'inégalité d'entropie (4.40)	114
	4.5 Retour sur la variable principale U	118
	4.6 Solution du problème de Riemann	119
	4.6.1 Théorème de Lax	120
	4.6.2 Correspondance Euler-Lagrange	121
	4.7 Systèmes en coordonnée de Lagrange	123
	4.8 Systèmes à flux d'entropie nul	124
	4.9 Vitesses d'ondes pour les systèmes lagrangiens	128
	4.10 Enthalpie d'un système lagrangien	133
	4.11 Exemples de systèmes lagrangiens	137
	4.11.1 Le système de la magnétohydrodynamique idéale	137
	4.11.2 Le modèle de l'hélium superfluide de Landau	142
	4.11.3 Un modèle multiphasique	147
	4.12 Chocs pour les systèmes lagrangiens	149
	4.13 Exercices	150
	4.14 Notes bibliographiques	156
	5 Le système de la dynamique des gaz compressibles	157
	5.1 Calcul des vitesses d'ondes	158
	5.1.1 Détentes	161
	5.1.2 Les discontinuités	162
	Les contacts	162
	Les chocs	163
	5.1.3 Nombre de Mach	166
	5.1.4 Problème de Riemann pour la dynamique des gaz	167
	5.2 Discrétisation numérique	167
	5.3 Schéma eulérien de Roe	170
	5.3.1 Matrice de Roe pour la dynamique des gaz eulérienne	173
	5.3.2 Propriétés du schéma de Roe	175
	Correcteur entropique et pas de temps	178
	5.3.3 Résultats numériques	178
	Petite conclusion pour le schéma de Roe	179
	5.4 Schéma Lagrange+projection	181